यदि frac{dy}{dx} + frac{3}{cos^2 x} y = frac{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (3 \sec^2 x) y = \sec^2 x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x

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$\frac{1}{3} + e^6$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (3 \sec^2 x) y = \sec^2 x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 3 \sec^2 x$ और $Q(x) = \sec^2 x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3 \sec^2 x dx} = e^{3 	an x}$ है।व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$y \cdot e^{3 	an x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3 	an x} dx + C$.माना $u = 3 	an x$,तब $du = 3 \sec^2 x dx$,इसलिए $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.$y \cdot e^{3 	an x} = \int e^u \cdot \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3} e^{3 	an x} + C$.$e^{3 	an x}$ से भाग देने पर,$y = \frac{1}{3} + C e^{-3 	an x}$ प्राप्त होता है।दिया है $y\left( \frac{\pi}{4} ight) = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{4}{3} = \frac{1}{3} + C e^{-3 	an(\pi/4)} = \frac{1}{3} + C e^{-3}$.$1 = C e^{-3} \Rightarrow C = e^3$.अतः,$y(x) = \frac{1}{3} + e^3 \cdot e^{-3 	an x} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 	an x}$.$x = -\frac{\pi}{4}$ के लिए,$y\left( -\frac{\pi}{4} ight) = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 	an(-\pi/4)} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3(-1)} = \frac{1}{3} + e^6$.

यदि $\frac{dy}{dx} + \frac{3}{\cos^2 x} y = \frac{1}{\cos^2 x}$,$x \in \left( -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right)$ और $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$ है,तो $y\left( -\frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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